志第二十八律歷八

○明天歷

步晷漏術(shù)

二至限:一百八十一日六十二分。

一象度:九十一度三十一分。

消息法:一萬(wàn)六百八十九。

辰法:三千二百五十。

刻法:三百九十。

半辰法:一千六百二十五。

昏明刻分:九百七十五。

昏明:二刻一百九十五分。

冬至岳臺(tái)晷景常數(shù):一丈二尺八寸五分。

夏至岳臺(tái)晷景常數(shù):一尺五寸七分。

冬至后初限、夏至后末限:四十五日六十二分。

夏至后初限、冬至后末限:一百三十七日。

求岳臺(tái)晷景入二至后日數(shù):計(jì)入二至后來日數(shù),以二至約余減之,仍加半日之分,即為入二至后來日午中積數(shù)及分。

求岳臺(tái)晷景午中定數(shù):置所求午中積數(shù),如初限以下者為在初;已上者,覆減二至限,余為在末。其在冬至后初限、夏至后末限者,以入限日減一千九百三十七半,為泛差;仍以入限日分乘其日盈縮積,盈縮積在日度術(shù)中。

五因百約之,用減泛差,為定差;乃以入限日分自相乘,以乘定差,滿一百萬(wàn)為尺,不滿為寸、為分及小分,以減冬至常晷,余為其日午中晷景定數(shù)。若所求入冬至后末限、夏至后初限者,乃三約入限日分,以減四百八十五少,余為泛差;仍以盈縮差減極數(shù),余者若在春分后、秋分前者,直以四約之,以加泛差,為定差;若春分前、秋分后者,以去二分日數(shù)及分乘之,滿六百而一,以減泛差,余為定差;乃以入限日分自相乘,以乘定差,滿一百萬(wàn)為尺,不滿為寸、為分及小分,以加夏至常晷,即為其日午中晷景定數(shù)。

求每日消息定數(shù):置所求日中日度分,如在二至限以下者為在息;以上者去之,余為在消。又視入消息度加一象以下者為在初;以上者,覆減二至限,余為在末。其初、末度自相乘,以一萬(wàn)乘而再折之,滿消息法除之,為常數(shù)。乃副之,用減一千九百五十,余以乘其副,滿八千六百五十除之,所得以加常數(shù),為所求消息定數(shù)。

求每日黃道去極度及赤道內(nèi)外度:置其日消息定數(shù),以四因之,滿三百二十五除之為度,不滿,退除為分,所得,在春分后加六十七度三十一分,在秋分后減一百一十五度三十一分,即為所求日黃道去極度及分。以黃道去極度與一象度相減,余為赤道內(nèi)、外度。若去極度少,為日在赤道內(nèi);若去極度多,為日在赤道外。

求每日晨昏分及日出入分:以其日消息定數(shù),春分后加六千八百二十五,秋分后減一萬(wàn)七百二十五,余為所求日晨分;用減元法,余為昏分。以昏明分加晨分,為日出分;減昏分,為日入分。

求每日距中距子度及每更差度:置其日晨分,以七百乘之,滿七萬(wàn)四千七百四十二除為度,不滿,退除為分,命曰距子度;用減半周天,余為距中度。若倍距子度,五除之,即為每更差度及分。若依司辰星漏歷,則倍距子度,減去待旦三十六度五十二分半,余以五約之,即每更差度。

求每日夜半定漏:置其日晨分,以刻法除之為刻,不滿為分,即所求日夜半定漏。

求每日晝夜刻及日出入辰刻:倍夜半定漏,加五刻,為夜刻。用減一百刻,余為晝刻。以昏明刻加夜半定漏,滿辰法除之為辰數(shù),不滿,刻法除之為刻,又不滿,為刻分。命辰數(shù)從子正,算外,即日出辰刻;以晝刻加之,命如前,即日入辰刻。若以半辰刻加之,即命從辰初也。

求更點(diǎn)辰刻:倍夜半定漏,二十五而一,為點(diǎn)差刻;五因之,為更差刻。以昏明刻加日入辰刻,即甲夜辰刻;以更點(diǎn)差刻累加之,滿辰刻及分去之,各得更點(diǎn)所入辰刻及分。若同司辰星漏歷者,倍夜半定漏,減去待旦一十刻,余依術(shù)求之,即同內(nèi)中更點(diǎn)。

求昏曉及五更中星:置距中度,以其日昏后夜半赤道日度加而命之,即其日昏中星所格宿次,其昏中星便為初更中星;以每更差度加而命之,即乙夜所格中星;累加之,得逐更中星所格宿次。又倍距子度,加昏中星命之,即曉中星所格宿次。若同司辰星漏歷中星,則倍距子度,減去待旦十刻之度三十六度五十二分半,余約之為五更,即同內(nèi)中更點(diǎn)中星。

求九服距差日:各于所在立表候之,若地在岳臺(tái)北,測(cè)冬至后與岳臺(tái)冬至晷景同者,累冬至后至其日,為距差日;若地在岳臺(tái)南,測(cè)夏至后與岳臺(tái)晷景同者,累夏至后至其日,為距差日。

求九服晷景:若地在岳臺(tái)北冬至前后者,以冬至前后日數(shù)減距差日,為余日;以余日減一千九百三十七半,為泛差;依前術(shù)求之,以加岳臺(tái)冬至晷景常數(shù),為其地其日中晷常數(shù)。若冬至前后日多于距差日,乃減去距差日,余依前術(shù)求之,即得其地其日中晷常數(shù)。若地在岳臺(tái)南夏至前后者,以夏至前后日數(shù)減距差日,為余日;乃三約之,以減四百八十五少,為泛差;依前術(shù)求之,以減岳臺(tái)夏至晷景常數(shù),即其地其日中晷常數(shù)。如夏至前后日數(shù)多于距差日,乃減岳臺(tái)夏至常晷,余即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日,即減去距差日,余依前術(shù)求之,各得其地其日中晷常數(shù)。若求定數(shù),依立成以求午中晷景定數(shù)。

求九服所在晝夜漏刻:冬、夏二至各于所在下水漏,以定其地二至夜刻,乃相減,余為冬、夏至差刻。置岳臺(tái)其日消息定數(shù),以其地二至差刻乘之,如岳臺(tái)二至差刻二十而一,所得,為其地其日消息定數(shù)。乃倍消息定數(shù),滿刻法約之為刻,不滿為分,乃加減其地二至夜刻,秋分后、春分前,減冬至夜刻;春分后、秋分前,加夏至夜刻。

為其地其日夜刻;用減一百刻,余為晝刻。其日出入辰刻及距中度五更中星,并依前術(shù)求之。

步月離術(shù)

轉(zhuǎn)度母:八千一百一十二萬(wàn)。

轉(zhuǎn)終分:二百九十八億八千二百二十四萬(wàn)二千二百五十一。

朔差:二十一億四千二百八十八萬(wàn)七千。

朔差:二十六度。余三千三百七十六萬(wàn)七千,約余四千一百六十二半。

轉(zhuǎn)法:一十億八千四百四十七萬(wàn)三千。

會(huì)周:三百二十億二千五百一十二萬(wàn)九千二百五十一。

轉(zhuǎn)終:三百六十八度。余三十八萬(wàn)二千二百五十一,約余三千七百八。

轉(zhuǎn)終:二十七日。余六億一百四十七萬(wàn)一千二百五十一,約余五千五百四十六。

中度:一百八十四度。余一千五百四萬(wàn)一千一百二十五半,約余一千八百五十四。

象度:九十二度。余七百五十二萬(wàn)五百六十二太,約分九百二十七。

月平行:十三度。余二千九百九十一萬(wàn)三千,約分三千六百八十七半。

望差:一百九十七度。余三千一百九十二萬(wàn)四千六百二十五半,約分三千九百三十四。

弦差:九十八度。余五千六百五十二萬(wàn)二千三百一十二太,約分六千九百六十七。

日衰:一十八、小分九。

求月行入轉(zhuǎn)度:以朔差乘所求積月,滿轉(zhuǎn)終分去之,不盡為轉(zhuǎn)余。滿轉(zhuǎn)度母除為度,不滿為余,其余若以一萬(wàn)乘之,滿轉(zhuǎn)度母除之,即得約分;若以轉(zhuǎn)法除轉(zhuǎn)余,即為入轉(zhuǎn)日及余。

即得所求月加時(shí)入轉(zhuǎn)度及余。若以弦度及余累加之,即得上弦、望、下弦及后朔加時(shí)入轉(zhuǎn)度及分;其度若滿轉(zhuǎn)終度及余去之。

其入轉(zhuǎn)度如在中度以下為月行在疾歷;如在中度以上者,乃減去中度及余,為月入遲歷。

求月行遲疾差度及定差:置所求月行入遲速度,如在象度以下為在初。以上,覆減中度,余為在末。其度余用約分百為母。

置初、末度于上,列二百一度九分于下,以上減下,余以下乘上,為積數(shù);滿一千九百七十六除為度,不滿,退除為分,命曰遲疾差度。在疾為減,在遲為加。

以一萬(wàn)乘積數(shù),滿六千七百七十三半除之,為遲疾定差。疾加、遲減,若用立成者,以其度下?lián)p益率乘度余,滿轉(zhuǎn)度母而一,所得,隨其損益,即得遲疾及定差。其遲疾、初末損益分為二日者,各加其初、末以乘除。

求朔弦望所直度下月行定分:置遲疾所入初、末度分,進(jìn)一位,滿七百三十九除之,用減一百二十七,余為衰差。乃以衰差疾初遲末減、遲初疾末加,皆加減平行度分,為其度所直月行定分。其度以百命為分。

求朔弦望定日:各以日躔盈縮、月行遲疾定差加減經(jīng)朔、弦、望小余,滿若不足,進(jìn)退大余,命甲子,算外,各得定日日辰及余。若定朔干名與后朔干名同者月大,不同月小,月內(nèi)無(wú)中氣者為閏月。凡注歷,觀定朔小余,秋分后四分之三已上者,進(jìn)一日;若春分后,其定朔晨分差如春分之日者,三約之,以減四分之三;如定朔小余及此數(shù)已上者,進(jìn)一日;朔或當(dāng)交有食,初虧在日入已前者,其朔不進(jìn)。弦、望定小余不滿日出分者,退一日;其望或當(dāng)交有食,初虧在日出已前,其定望小余雖滿日出分者,亦退之。又月行九道遲疾,歷有三大二小;日行盈縮累增損之,則有四大三小,理數(shù)然也。若循其常,則當(dāng)察加時(shí)早晚,隨其所近而進(jìn)退之,使月之大小不過連三。舊說,正月朔有交,必須消息前后一兩月,移食在晦、二之日。且日食當(dāng)朔,月食當(dāng)望,蓋自然之理。夫日之食,蓋天之垂誡,警悟時(shí)政,若道化得中,則變咎為祥。國(guó)家務(wù)以至公理天下,不可私移晦朔,宜順天誡。故《春秋傳》書日食,乃糾正其朔,不可專移食于晦、二。其正月朔有交,一從近典,不可移避。

求定朔弦望加時(shí)日度:置朔、弦、望中日及約分,以日躔盈縮度及分盈加縮減之,又以元法退除遲疾定差,疾加遲減之,余為其朔、弦、望加時(shí)定日。以天正冬至加時(shí)黃道日度加而命之,即所求朔、弦、望加時(shí)定日所在宿次。朔、望有交,則依后術(shù)。

求月行九道:凡合朔所交,冬在陰歷,夏在陽(yáng)歷,月行青道。冬至、夏至后,青道半交在春分之宿,當(dāng)黃道東。立夏、立冬后,青道半交在立春之宿,當(dāng)黃道東南;至所沖之宿亦如之。

冬在陽(yáng)歷,夏在陰歷,月行白道。冬至、夏至后,白道半交在秋分之宿,當(dāng)黃道西;立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,當(dāng)黃道西北;至所沖之宿亦如之。

春在陽(yáng)歷,秋在陰歷,月行朱道。春分、秋分后,朱道交在夏至之宿,當(dāng)黃道南;立春、立秋后,朱道半交在立夏之宿,當(dāng)黃道西南:至所沖之宿亦如之。

春在陰歷,秋在陽(yáng)歷,月行黑道。春分、秋分后,黑道半交在冬至之宿,當(dāng)黃道正北。立春、立秋后,黑道半交在立冬之宿,當(dāng)黃道東北;至所沖之宿亦如之。

四序離為八節(jié),至陰陽(yáng)之所交,皆與黃道相會(huì),故月行九道。各視月所入正交積度,視正交九道宿度所入節(jié)候,即其道、其節(jié)所起。

滿象度及分去之余,入交積度及象度并在交會(huì)術(shù)中。

若在半象以下為在初限。以上,覆減象度及分,為在末限。用減一百一十一度三十七分,余以所入初、末限度及分乘之,退位,半之,滿百為度,不滿為分,所得為月行與黃道差數(shù)。距半交后、正交前,以差數(shù)減;距正交后、半交前,以差數(shù)加。此加減出入六度,單與黃道相較之?dāng)?shù),若較之赤道,隨數(shù)遷變不常。

計(jì)去二至以來度數(shù),乘黃道所差,九十而一,為月行與黃道差數(shù)。凡日以赤道內(nèi)為陰,外為陽(yáng);月以黃道內(nèi)為陰,外為陽(yáng)。故月行宿度,入春分交后行陰歷,秋分交后行陽(yáng)歷,皆為同名;若入春分交后行陽(yáng)歷,秋分交后行陰歷,皆為異名。其在同名,以差數(shù)加者加之,減者減之;其在異名,以差數(shù)加者減之,減者加之。皆加減黃道宿積度,為九道宿積度;以前宿九道宿積度減其宿九道宿積度,余為其宿九道宿度及分。其分就近約為太、半、少三數(shù)。

求月行九道入交度:置其朔加時(shí)定日度,以其朔交初度及分減之,余為其朔加時(shí)月行入交度及余。其余以一萬(wàn)乘之,以元法退除之,即為約余。

以天正冬至加時(shí)黃道日度加而命之,即正交月離所在黃道宿度。

求正交加時(shí)月離九道宿度:以正交度及分減一百一十一度三十七分,余以正交度及分乘之,退一等,半之,滿百為度,不滿為分,所得,命曰定差。以定差加黃道宿度,計(jì)去冬、夏至以來度數(shù),乘定差,九十而一,所得,依同異名加減之,滿若不足,進(jìn)退其度,命如前,即正交加時(shí)月離九道宿度及分。

求定朔弦望加時(shí)月離所在宿度:各置其日加時(shí)日躔所在,變從九道,循次相加。凡合朔加時(shí),月行潛在日下,與太陽(yáng)同度,是為加時(shí)月離宿次。先置朔、弦、望加時(shí)黃道宿度,以正交加時(shí)黃道宿度減之,余以加其正交加時(shí)九道宿度,命起正交宿次,算外,即朔、弦、望加時(shí)所當(dāng)九道宿度。其合朔加時(shí)若非正近,則日在黃道、月在九道各入宿度,雖多少不同,考其去極,若應(yīng)繩準(zhǔn)。故云月行潛在日下,與太陽(yáng)同度。

各以弦、望度及分加其所當(dāng)九道宿度,滿宿次去之,各得加時(shí)九道月離宿次。

求定朔夜半入轉(zhuǎn):以所求經(jīng)朔小余減其朔加時(shí)入轉(zhuǎn)日余,其經(jīng)朔小余,以二萬(wàn)七千八百七乘之,即母轉(zhuǎn)法。

為其經(jīng)朔夜半入轉(zhuǎn)。若定朔大余有進(jìn)退者,亦進(jìn)退轉(zhuǎn)日,無(wú)進(jìn)退則因經(jīng)為定。其余以轉(zhuǎn)法退收之,即為約分。

求次月定朔夜半入轉(zhuǎn):因定朔夜半入轉(zhuǎn),大月加二日,小月加一日,余、分皆加四千四百五十四,滿轉(zhuǎn)終日及約分去之,即次月定朔夜半入轉(zhuǎn);累加一日,去命如前,各得逐日夜半入轉(zhuǎn)日及分。

求定朔弦望夜半月度:各置加時(shí)小余,若非朔、望有交者,有用定朔、弦、望小余。

以其日月行定分乘之,滿元法而一為度,不滿,退除為分,命曰加時(shí)度。以減其日加時(shí)月度,即各得所求夜半月度。

求晨昏月:以晨分乘其日月行定分,元法而一,為晨度;用減月行定分,余為昏度。各以晨昏度加夜半月度,即所求晨昏月所在宿度。

求朔弦望晨昏定程:各以其朔昏定月減上弦昏定月,余為朔后昏定程;以上弦昏定月減望昏定月,余為上弦后昏定程;以望晨定月減下弦晨定月,余為望后晨定程;以下弦晨定月減次朔晨定月,余為下弦后晨定程。

求轉(zhuǎn)積度:計(jì)四七日月行定分,以日衰加減之,為逐日月行定程;乃自所入日計(jì)求定之,為其程轉(zhuǎn)積度分。其四七日月行定分者,初日益遲一千二百一十,七日漸疾一千三百四十一,十四日損疾一千四百六十一,二十一日漸遲一千三百二十八,乃觀其遲疾之極差而損益之,以百為分母。

求每日晨昏月:以轉(zhuǎn)積度與晨昏定程相減,余以距后程日數(shù)除之,為日差。定程多為加,定程少為減。

以加減每日月行定分,為每日轉(zhuǎn)定度及分。以每日轉(zhuǎn)定度及分加朔、弦、望晨昏月,滿九道宿次去之,即為每日晨、昏月離所在宿度及分。凡注歷,朔后注昏,望后注晨。

已前月度,并依九道所推,以究算術(shù)之精微。若注歷求其速要者,即依后術(shù)以推黃道月度。

求天正十一月定朔夜半平行月:以天正經(jīng)朔小余乘平行度分,元法而一為度,不滿,退除為分秒,所得,為經(jīng)朔加時(shí)度。用減其朔中日,即經(jīng)朔晨前夜半平行月積度。若定朔有進(jìn)退,以平行度分加減之。

即為天正十一月定朔之日晨前夜半平行月積度及分。

求次月定朔之日夜半平行月:置天正定朔之日夜半平行月,大月加三十五度八十分六十一秒,小月加二十二度四十三分七十三秒半,滿周天度分即去之,即每月定朔之晨前夜半平行月積度及分秒。

求定弦望夜半平行月、計(jì)弦、望距定朔日數(shù),以乘平行度及分秒,以加其定朔夜半平行月積度及分秒,即定弦、望之日夜半平行月積度及分秒。亦可直求朔望,不復(fù)求度,從簡(jiǎn)易也。

求天正定朔夜半入轉(zhuǎn)度:置天正經(jīng)朔小余,以平行月度及分乘之,滿元法除為度,不滿,退除為分秒,命為加時(shí)度;以減天正十一月經(jīng)朔加時(shí)入轉(zhuǎn)度及約分,余為天正十一月經(jīng)朔夜半入轉(zhuǎn)度及分。若定朔大余有進(jìn)退者,亦進(jìn)退平行度分,即為天正十一月定朔之日晨前夜半入轉(zhuǎn)度及分秒。

求次月定朔及弦望夜半入轉(zhuǎn)度:因天正十一月定朔夜半入轉(zhuǎn)度分,大月加三十二度六十九分一十七秒,小月加十九度三十二分二十九秒半,即各得次月定朔夜半入轉(zhuǎn)度及分。各以朔、弦、望相距日數(shù)乘平行度分以加之,滿轉(zhuǎn)終度及秒即去之,如在中度以下者為在疾;以上者去之,余為入遲歷,即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入轉(zhuǎn)度及分。若以平行月度及分收之,即為定朔、弦、望入轉(zhuǎn)日。

求定朔弦望夜半定月:以定朔、弦、望夜半入轉(zhuǎn)度分乘其度損益衰,以一萬(wàn)約之為分,百約之為秒,損益其度下遲疾度,為遲疾定度。乃以遲加疾減夜半平行月,為朔、弦、望夜半定月積度。以冬至加時(shí)黃道日度加而命之,即定朔、弦、望夜半月離所在宿次。若有求晨昏月,以其日晨昏分乘其日月行定分,元法而一,所得為晨昏度;以加其夜半定月,即得朔、弦、望晨昏月度。

求朔弦望定程:各以朔、弦、望定月相減,余為定程。若求晨昏定程,則用晨昏定月相減,朔后用昏,望后用晨。

求朔弦望轉(zhuǎn)積度分:計(jì)四七日月行定分,以日衰加減之,為逐日月行定分;乃自所入日計(jì)之,為其程轉(zhuǎn)積度分。其四七日月行定分者,初日益遲一千二百一十,七日漸疾一千三百四十一,十四日損疾一千四百六十一,二十一日漸遲一千三百二十八,乃視其遲疾之極差而損益之,分以百為母。

求每日月離宿次:各以其朔、弦、望定程與轉(zhuǎn)積度相減,余為程差。以距后程日數(shù)除之,為日差。定程多為益差,定程少為損差。

以日差加減月行定分。為每日月行定分;以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次,命之,即每日晨前夜半月離宿次。如晨昏宿次,即得每日晨昏月度。

步交會(huì)術(shù)

交度母:六百二十四萬(wàn)。

周天分:二十二億七千九百二十萬(wàn)四百四十七。

朔差:九百九十萬(wàn)一千一百五十九。

朔差:一度、余三百六十六萬(wàn)一千一百五十九。

望差:空度、余四百九十五萬(wàn)五百七十九半。

半周天:一百八十二度。余三百九十二萬(wàn)二百二十三半,約分六千二百八十二。

日食限:一千四百六十四。

月食限:一千三百三十八。

盈初限縮末限:六十度八十七分半。

縮初限盈末限:一百二十一度七十五分。

求交初度:置所求積月,以朔差乘之,滿周天分去之,不盡,覆減周天分,滿交度母除之為度,不滿為余,即得所求月交初度及余;以半周天加之,滿周天去之,余為交中度及余。若以望差減之,即得其月望交初度及余;以朔差減之,即得次月交初度及余;以交度母退除,即得余分。若以天正黃道日度加而命之,即各得交初、中所在宿度及分。

求日月食甚小余及加時(shí)辰刻:以其朔、望月行遲疾定差疾加遲減經(jīng)朔望小余,若不足減者,退大余一,加元法以減之;若加之滿元法者,但積其數(shù)。

以一千三百三十七乘之,滿其度所直月行定分除之,為月行差數(shù);乃以日躔盈定差盈加縮減之,余為其朔、望食甚小余。凡加減滿若不足,進(jìn)退其日,此朔望加時(shí)以究月行遲疾之?dāng)?shù),若非有交會(huì),直以經(jīng)定小余為定。

置之,如前發(fā)斂加時(shí)術(shù)入之,即各得日、月食甚所在晨刻。視食甚小余,如半法以下者,覆減半法,余為午前分;半法已上者,減去半法,余為午后分。

求朔望加時(shí)日月度:以其朔、望加時(shí)小余與經(jīng)朔望小余相減,余以元法退收之,以加減其朔、望中日及約分,經(jīng)朔望少,加;經(jīng)朔望多,減。

為其朔、望加時(shí)中日。乃以所入日升降分乘所入日約分,以一萬(wàn)約之,所得,隨以損益其日下盈縮積,為盈縮定度;以盈加縮減加時(shí)中日,為其朔、望加時(shí)定日;望則更加半周天,為加時(shí)定月;以天正冬至加時(shí)黃道日度加而命之,即得所求朔、望加時(shí)日月所在宿度及分。

求朔望日月加時(shí)去交度分:置朔望日月加時(shí)定度與交初、交中度相減,余為去交度分。就近者相減之,其度以百通之為分。

加時(shí)度多為后,少為前,即得其朔望去交前、后分。交初后、交中前,為月行外道陽(yáng)歷;交中后、交初前,為月行內(nèi)道陰歷。

求日食四正食差定數(shù):置其朔加時(shí)定日,如半周天以下者為在盈。以上者去之,余為在縮。視之,如在初限以下者為在初。以上者,覆減二至限,余為在末。置初、末限度及分,盈初限、縮末限者倍之。

置于上位,列二百四十三度半于下,以上減下,余以下乘上,以一百六乘之,滿三千九十三除之,為東西食差泛數(shù)。用減五百八,余為南北食差泛數(shù)。其求南北食差定數(shù)者,乃視午前、后分,如四分法之一以下者覆減之,余以乘泛數(shù)。若以上者即去之,余以乘泛數(shù),皆滿九千七百五十除之,為南北食差定數(shù)。盈初縮末限者,食甚在卯酉以南,內(nèi)減外加;食甚在卯酉以北,內(nèi)加外減。

縮初盈末限者,食甚在卯酉以南,內(nèi)加外減;食甚在卯酉以北,內(nèi)減外加。

其求東西食差定數(shù)者,乃視午前、后分,如四分法之一以下者以乘泛數(shù);以上者,覆減半法,余乘泛數(shù),皆滿九千七百五十除之,為東西食差定數(shù)。盈初縮末限者,食甚在子午以東,內(nèi)減外加;食甚在子午以西,內(nèi)加外減�？s初盈末限者,食甚在子午以東,內(nèi)加外減;食甚在子午以西,內(nèi)減外加。

即得其朔四正食差加減定數(shù)。

求日月食去交定分:視其朔四正食差,加減定數(shù),同名相從,異名相消,余為食差加減總數(shù);以加減去交分,余為日食去交定分。其去交定分不足減、乃覆減食差總數(shù)、若陽(yáng)歷覆減入陰歷,為入食限;若陰歷覆減入陽(yáng)歷,為不入食限。凡加之滿食限以上者,亦不入食限。

其望食者,以其望去交分便為其望月食去交定分。

求日月食分:日食者,視去交定分,如食限三之一以下者倍之,類同陽(yáng)歷食分。以上者,覆減食限,余為陰歷食分。皆進(jìn)一位,滿九百七十六除為大分,不滿,退除為小分,命十為限,即日食之大、小分。月食者,視去交定分,如食限三之一以下者,食既;以上者,覆減食限。余進(jìn)一位,滿八百九十二除之為大分,不滿,退除為小分,命十為限,即月食之大、小分。其食不滿大分者,雖交而數(shù)淺,或不見食也。

求日食泛用刻分:置陰、陽(yáng)歷食分于上,列一千九百五十二于下,以上減下,余以乘上,滿二百七十一除之,為日食泛用刻、分。

求月食泛用刻分:置去交定分,自相乘,交初以四百五十九除,交中以五百四十除之,所得,交初以減三千九百,交中以減三千三百一十五,余為月食泛用刻、分。

求日月食定用刻分:置日月食泛用刻、分,以一千三百三十七乘之,以所直度下月行定分除之,所得為日月食定用刻、分。

求日月食虧初復(fù)滿時(shí)刻:以定用刻分減食甚小余,為虧初小余;加食甚,為復(fù)滿小余;各滿辰法為辰數(shù),不盡,滿刻法除之為刻數(shù),不滿為分。命辰數(shù)從子正,算外,即得虧初、復(fù)末辰、刻及分。若以半辰數(shù)加之,即命從時(shí)初也。

求日月食初虧復(fù)滿方位:其日食在陽(yáng)歷者,初食西南,甚于正南,復(fù)于東南;日在陰歷者,初食西北,甚于正北,復(fù)于東北。其食過八分者,皆初食正西,復(fù)于正東。其月食者,月在陰歷,初食東南,甚于正南,復(fù)于西南;月在陽(yáng)歷,初食東北,甚于正北,復(fù)于西北。其食八分已上者,皆初食正東,復(fù)于正西。此皆審其食甚所向,據(jù)午正而論之,其食余方察其斜正,則初虧、復(fù)滿乃可知矣。

求月食更點(diǎn)定法:倍其望晨分,五而一,為更法;又五而一,為點(diǎn)法。若依司辰星注歷,同內(nèi)中更點(diǎn),則倍晨分,減去待旦十刻之分,余,五而一,為更法;又五而一,為點(diǎn)法。

求月食入更點(diǎn):各置初虧、食甚、復(fù)滿小余,如在晨分以下者加晨分,如在昏分以上者減去昏分,余以更法除之為更數(shù),不滿,以點(diǎn)法除之為點(diǎn)數(shù)。其更數(shù)命初更,算外,即各得所入更、點(diǎn)。

求月食既內(nèi)外刻分:置月食去交分,覆減食限三之一,不及減者為食不既。余列于上位;乃列三之二于下,以上減下,余以下乘上,以一百七十除之,所得,以定用刻分乘之,滿泛用刻分除之,為月食既內(nèi)刻分;用減定用刻分,余為既外刻、分。

求日月帶食出入所見分?jǐn)?shù):視食甚小余在日出分以下者,為月見食甚、日不見食甚;以日出分減復(fù)滿小余,若食甚小余在日出分已上者,為日見食甚、月不見食甚;以初虧小余減日出分,各為帶食差;若月食既者,以既內(nèi)刻分減帶食差,余乘所食分,既外刻分而一,不及減者,即帶食既出入也。

以乘所食之分,滿定用刻分而一,即各為日帶食出、月帶食入所見之分。凡虧初小余多如日出分為在晝,復(fù)滿小余多如日出分為在夜,不帶食出入也。

若食甚小余在日入分以下者,為日見食甚、月不見食甚;以日入分減復(fù)滿小余,若食甚小余在日入分已上者,為月見食甚、日不見食甚;以初虧小余減日入分,各為帶食差;若月食既者,以既內(nèi)刻分減帶食差,余乘所差分,既外刻分而一,不及減者,即帶食既出入也。

以乘所食之分,滿定用刻分而一,即各為日帶食入、月帶食出所見之分。凡虧初小余多如日入分為在夜,復(fù)滿小余少如日入分為在晝,并不帶食出入也。

步五星術(shù)

木星終率:一千五百五十五萬(wàn)六千五百四。

終日:三百九十八日。余三萬(wàn)四千五百四,約分八千八百四十七。

歷差:六萬(wàn)一千七百五十。

見伏常度:一十四度。

火星終率:三千四十一萬(wàn)七千五百三十六。

終日:七百七十九日。余三萬(wàn)六千五百三十六,約分九千三百六十八。

歷差:六萬(wàn)一千二百四十。

見伏常度:一十八度。

土星終率:一千四百七十四萬(wàn)五千四百四十六。

終日:三百七十八。余三千四百四十六,約分八百八十三。

歷差:六萬(wàn)一千三百五十。

見伏常度:一十八度半。

金星終率:二千二百七十七萬(wàn)二千一百九十六。

終日:五百八十三日。余三萬(wàn)五千一百九十六,約分九千二十四。

見伏常度:一十一度少。

水星終率:四百五十一萬(wàn)九千一百八十四。改九千一百九十四。

終日:一百一十五日。余三萬(wàn)四千一百八十四,約分八千七百六十五。

見伏常度:一十八度。

求五星天正冬至后諸段中積中星:置氣積分,各以其星終率去之,不盡,覆減終率,余滿元法為日,不滿,退除為分,即天正冬至后其星平合中積。重列之為中星,因命為前一段之初,以諸段變?nèi)�、變度累加減之,即為諸段中星。變?nèi)占訙p中積,變度加減中星。

求木火土三星入歷:以其星歷差乘積年,滿周天分去之,不盡,以度母除之為度,不滿,退除為分,命曰差度;以減其星平合中星,即為平合入歷度分;以其星其段歷度加之,滿周天度分即去之,各得其星其段入歷度分。金、水附日而行,更不求歷差。其木、火、土三星前變?yōu)槌?后變?yōu)橄�。金、水二星前變�(yōu)橄?后變?yōu)槌俊?/p>

求木火土三星諸段盈縮定差:木、土二星,置其星其段入歷度分,如半周天以下者為在盈。以上者,減去半周天,余為在縮。置盈縮度分,如在一象以下者為在初限。以上者,覆減半周天,余為在末限。置初、末限度及分于上,列半周天于下,以上減下,以下乘上,木進(jìn)一位,土九因之。

皆滿百為分,分滿百為度,命曰盈縮定差。其火星,置盈縮度分,如在初限以下者為在初。以上者,覆減半周天,余為在末。以四十五度六十五分半為盈初、縮末限度,以一百三十六度九十六分半為縮初、盈末限度分。

置初、末限度于上,盈初、縮末三因之。

列二百七十三度九十三分于下,以上減下,余以下乘上,以一十二乘之,滿百為度,不滿,百約為分,命曰盈縮定差。若用立成法,以其度下?lián)p益率乘度下約分,滿百者,以損益其度下盈縮差度為盈縮定差,若在留退段者,即在盈縮泛差。

求木火土三星留退差:置后退、后留盈縮泛差,各列其星盈縮極度于下,木極度,八度三十三分;火極度,二十二度五十一分;土極度,七度五十分。

以上減下,余以下乘上,水、土三因之,火倍之。

皆滿百為度,命曰留退差。后退初半之,后留全用。

其留退差,在盈益減損加、在縮損減益加其段盈縮泛差,為后退、后留定差。因?yàn)楹筮t初段定差,各須類會(huì)前留定差,觀其盈縮,察其降差也。

求五星諸段定積:各置其星其段中積,以其段盈縮定差盈加縮減之,即其星其段定積及分;以天正冬至大余及約分加之,滿紀(jì)法去之,不盡,命甲子,算外,即得日辰。其五星合見、伏,即為推算段定日;后求見、伏合定日,即歷注其日。

求五星諸段所在月日:各置諸段定積,以天正閏日及約分加之,滿朔策及分去之,為月數(shù);不滿,為入月以來日數(shù)及分。其月數(shù)命從天正十一月,算外,即其星其段入其月經(jīng)朔日數(shù)及分。定朔有進(jìn)退者,亦進(jìn)退其日,以日辰為定。若以氣策及約分去定積,命從冬至,算外,即得其段入氣日及分。

求五星諸段加時(shí)定星:各置其星其段中星,以其段盈縮定差盈加縮減之,即五星諸段定星。若以天正冬至加時(shí)黃道日度加而命之,即其段加時(shí)定星所在宿次。五星皆以前留為前退初定星,后留為后順初定星。

求五星諸段初日晨前夜半定星:木、火、土三星,以其星其段盈縮定差與次度下盈縮定差相減,余為其度損益差;以乘其段初行率,一百約之,所得,以加減其段初行率,在盈,益加損減;在縮,益減損加。

以一百乘之,為初行積分;又置一百分,亦依其數(shù)加減之,以除初行積分,為初日定行分。以乘其段初日約分,以一百約之,順減退加其段定星,為其段初日晨前夜半定星;以天正冬至加時(shí)黃道日度加而命之,即得所求。金、水二星,直以初行率便為初日定行分。

求太陽(yáng)盈縮度:各置其段定積,如二至限以下為在盈;以上者去之,余為在縮。又視入盈縮度,如一象以下者為在初;以上者,覆減二至限,余為在末。置初、末限度及分,如前日度術(shù)求之,即得所求。若用立成者,直以其度下?lián)p益分乘度余,百約之,所得,損益其度下盈縮差,亦得所求。

求諸段日度率:以二段日晨相距為日率,又以二段夜半定星相減,余為其段度率及分。

求諸段平行分:各置其段度率及分,以其段日率除之,為其段平行分。

求諸段泛差:各以其段平行分與后段平行分相減,余為泛差;并前段泛差,四因之,退一等,為其段總差。五星前留前、后留后一段,皆以六因平行分,退一等,為其段總差,水星為半總差。其在退行者,木、火、土以十二乘其段平行分,退一等,為其段總差。金星退行者,以其段泛差為總差,后變則反用初、末。水星退行者,以其段平行分為總差,若在前后順第一段者,乃半次段總差,為其段總差。

求諸段初末日行分:各半其段總差,加減其段平行分,為其段初、末日行分。前變加為初,減為末;后變減為初,加為末。其在退段者,前則減為初,加為末;后則加為初,減為末。若前后段行分多少不倫者,乃平注之;或總差不備大分者,亦平注之:皆類會(huì)前后初、末,不可失其衰殺。

求諸段日差:減其段日率一,以除其段總差,為其段日差。后行分少為損,后行分多為益。

求每日晨前夜半星行宿次:置其段初日行分,以日差累損益之,為每日行分。以每日行分累加減其段初日晨前夜半宿次,命之,即每日星行宿次。

徑求其日宿次:置所求日,減一,以乘日差,以加減初日行分,后少,減之;后多,加之。

為所求日行分;乃加初日行分而半之,以所求日數(shù)乘之,為徑求積度;以加減其段初日宿次,命之,即徑求其日星宿次。

求五星定合定日:木、火、土三星,以其段初日行分減一百分,余以除其日太陽(yáng)盈縮余為日,不滿,退除為分,命曰距合差日及分。以差日及分減太陽(yáng)盈縮分,余為距合差度。以差日、差度盈減縮加。金、水二星平合者,以百分減初日行分,余以除其日太陽(yáng)盈縮余為日,不滿,退除為分,命曰距合差日及分。以減太陽(yáng)盈縮分,余為距合差度。以差日、差度盈加縮減。金、水星再合者,以初日行分加一百分,以除其日太陽(yáng)盈縮分為日,不滿,退除為分,命曰再合差日;以減太陽(yáng)盈縮分,余為再合差度。以差日、差度盈加縮減。差度則反其加減。

皆以加減定積,為再合定日。以天正冬至大余及約分加而命之,即得定合日辰。

求五星定見伏:木、火、土三星,各以其段初日行分減一百分,余以除其日太陽(yáng)盈縮分為日,不滿,退除為分,以盈減縮加。金、水二星夕見、晨伏者,以一百分減初日行分,余以除其日太陽(yáng)盈縮分為日,不滿,退除為分,以盈加縮減。其在晨見、夕伏者,以一百分加其段初日行分,以除其日太陽(yáng)盈縮分為日,不滿,退除為分,以盈減縮加。皆加減其段定積,為見、伏定日。以加冬至大余及約分,滿紀(jì)法去之,命從甲子,算外,即得五星見、伏定日日辰。

琮又論歷曰:「古今之歷,必有術(shù)過于前人,而可以為萬(wàn)世之法者,乃為勝也。若一行為《大衍歷》,議及略例,校正歷世,以求歷法強(qiáng)弱,為歷家體要,得中平之?dāng)?shù)。劉焯悟日行有盈縮之差。舊歷推日行平行一度,至此方悟日行有盈縮,冬至前后定日八十八日八十九分,夏至前后定日九十三日七十四分,冬至前后日行一度有余,夏至前后日行不及一度。

李淳風(fēng)悟定朔之法,并氣朔、閏余,皆同一術(shù)。舊歷定朔平注一大一小,至此以日行盈縮、月行遲疾加減朔余,余為定朔、望加時(shí),以定大小,不過三數(shù)。自此后日食在朔,月食在望,更無(wú)晦、二之差。舊歷皆須用章歲、章月之?dāng)?shù),使閏余有差,淳風(fēng)造《麟德歷》,以氣朔、閏余同歸一母。

張子信悟月行有交道表里,五星有入氣加減。北齊學(xué)士張子信因葛榮亂,隱居海島三十余年,專以圓儀揆測(cè)天道,始悟月行有交道表里,在表為外道陽(yáng)歷,在里為內(nèi)道陰歷。月行在內(nèi)道,則日有食之,月行在外道則無(wú)食。若月外之人北戶向日之地,則反觀有食。又舊歷五星率無(wú)盈縮,至是始悟五星皆有盈縮、加減之?dāng)?shù)。

宋何承天始悟測(cè)景以定氣序。景極長(zhǎng),冬至;景極短,夏至。始立八尺之表,連測(cè)十余年,即知舊《景初歷》冬至常遲天三日。乃造《元嘉歷》,冬至加時(shí)比舊退減三日。

晉姜岌始悟以月食所沖之宿,為日所在之度。日所在不知宿度,至此以月食之宿所沖,為日所在宿度。

后漢劉洪作《乾象歷》,始悟月行有遲疾數(shù)。舊歷,月平行十三度十九分度之七,至是始悟月行有遲疾之差,極遲則日行十二度強(qiáng),極疾則日行十四度太,其遲疾極差五度有余。

宋祖沖之始悟歲差。《書·堯典》曰:「日短星昴,以正仲冬;宵中星虛,以殷仲秋�！怪两袢�千余年,中星所差三十余度,則知每歲有漸差之?dāng)?shù),造《大明歷》率四十五年九月而退差一度。

唐徐升作《宣明歷》,悟日食有氣、刻差數(shù)。舊歷推日食皆平求食分,多不允合,至是推日食,以氣刻差數(shù)增損之,測(cè)日食分?jǐn)?shù),稍近天驗(yàn)。

《明天歷》悟日月會(huì)合為朔,所立日法,積年有自然之?dāng)?shù),及立法推求晷景,知?dú)夤?jié)加時(shí)所在。自《元嘉歷》后所立日法,以四十九分之二十六為強(qiáng)率、以十七分之九為弱率,并強(qiáng)弱之?dāng)?shù)為日法、朔余,自后諸歷效之。殊不知日月會(huì)合為朔,并朔余虛分為日法,蓋自然之理。其氣節(jié)加時(shí),晉、漢以來約而要取,有差半日,今立法推求,得盡其數(shù)。

后之造歷者,莫不遵用焉。其疏謬之甚者,即苗守信之《乾元?dú)v》、馬重績(jī)之《調(diào)元?dú)v》、郭紹之《五紀(jì)歷》也。大概無(wú)出于此矣。然造歷者,皆須會(huì)日月之行,以為晦朔之?dāng)?shù),驗(yàn)《春秋》日食,以明強(qiáng)弱。其于氣序,則取驗(yàn)于《傳》之南至。其日行盈縮、月行遲疾、五星加減、二曜食差、日宿月離、中星晷景、立數(shù)立法,悉本之于前語(yǔ)。然后較驗(yàn),上自夏仲康五年九月「辰弗集于房」,以至于今,其星辰氣朔、日月交食等,使三千年間若應(yīng)準(zhǔn)繩。而有前有后、有親有疏者,即為中平之?dāng)?shù),乃可施于后世。其較驗(yàn)則依一行、孫思恭,取數(shù)多而不以少,得為親密。較日月交食,若一分二刻以下為親,二分四刻以下為近,三分五刻以上為遠(yuǎn)。以歷注有食而天驗(yàn)無(wú)食,或天驗(yàn)有食而歷注無(wú)食者為失。其較星度,則以差天二度以下為親,三度以下為近,四度以上為遠(yuǎn);其較晷景尺寸,以二分以下為親,三分以下為近,四分以上為遠(yuǎn)。若較古而得數(shù)多,又近于今,兼立法、立數(shù),得其理而通于本者為最也�！圭�自謂善歷,嘗曰:「世之知?dú)v者甚少,近世獨(dú)孫思恭為妙。」而思恭又嘗推劉羲叟為知?dú)v焉。