數(shù)學(xué)家高斯的故事

　　高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick,位于現(xiàn)在德國(guó)中北部。他的祖父是農(nóng)民,父親是泥水匠,母親是一個(gè)石匠的女兒,有一個(gè)很聰明的弟弟,高斯這位舅舅,對(duì)小高斯很照顧,偶而會(huì)給他一些指導(dǎo),而父親可以說是一名「大老粗」,認(rèn)為只有力氣能掙錢,學(xué)問這種勞什子對(duì)窮人是沒有用的。

　　高斯很早就展現(xiàn)過人才華,三歲時(shí)就能指出父親帳冊(cè)上的錯(cuò)誤。七歲時(shí)進(jìn)了小學(xué),在破舊的教室里上課,老師對(duì)學(xué)生并不好,常認(rèn)為自己在窮鄉(xiāng)僻壤教書是懷才不遇。高斯十歲時(shí),老師考了那道著名的「從一加到一百」,終于發(fā)現(xiàn)了高斯的才華,他知道自己的能力不足以教高斯,就從漢堡買了一本較深的數(shù)學(xué)書給高斯讀。同時(shí),高斯和大他差不多十歲的助教Bartels變得很熟,而Bartels的能力也比老師高得多,后來成為大學(xué)教授,他教了高斯更多更深的數(shù)學(xué)。

　　老師和助教去拜訪高斯的父親,要他讓高斯接受更高的教育,但高斯的父親認(rèn)為兒子應(yīng)該像他一樣,作個(gè)泥水匠,而且也沒有錢讓高斯繼續(xù)讀書,最后的結(jié)論是--去找有錢有勢(shì)的人當(dāng)高斯的贊助人,雖然他們不知道要到哪里找。經(jīng)過這次的訪問,高斯免除了每天晚上織布的工作,每天和Bartels討論數(shù)學(xué),但不久之后,Bartels也沒有什么東西可以教高斯了。

　　1788年高斯不顧父親的反對(duì)進(jìn)了高等學(xué)校。數(shù)學(xué)老師看了高斯的作業(yè)后就要他不必再上數(shù)學(xué)課,而他的拉丁文不久也凌駕全班之上。

　　1791年高斯終于找到了資助人--布倫斯維克公爵費(fèi)迪南(Braunschweig),答應(yīng)盡一切可能幫助他,高斯的父親再也沒有反對(duì)的理由。隔年,高斯進(jìn)入Braunschweig學(xué)院。這年,高斯十五歲。在那里,高斯開始對(duì)高等數(shù)學(xué)作研究。并且獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、質(zhì)數(shù)分布定理(prime numer theorem)、及算術(shù)幾何平均(arithmetic-geometric mean)。

　　1795年高斯進(jìn)入哥廷根(G?ttingen)大學(xué),因?yàn)樗�在語言和數(shù)學(xué)上都極有天分,為了將來是要專攻古典語文或數(shù)學(xué)苦惱了一陣子。到了1796年,十七歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果。最為人所知,也使得他走上數(shù)學(xué)之路的,就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道如何用尺規(guī)作出正 2m×3n×5p 邊形,其中 m 是正整數(shù),而 n 和 p 只能是0或1。但是對(duì)于正七、九、十一邊形的尺規(guī)作圖法,兩千年來都沒有人知道。而高斯證明了:

　　一個(gè)正 n 邊形可以尺規(guī)作圖若且唯若 n 是以下兩種形式之一:

　　1、n = 2k,k = 2, 3,…

　　2、n = 2k × (幾個(gè)不同「費(fèi)馬質(zhì)數(shù)」的乘積),k = 0,1,2,…

　　費(fèi)馬質(zhì)數(shù)是形如 Fk = 22k 的質(zhì)數(shù)。像 F0 = 3,F1 = 5,F2 = 17,F3 = 257, F4 = 65537,都是質(zhì)數(shù)。高斯用代數(shù)的方法解決二千多年來的幾何難題,他也視此為生平得意之作,還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上,但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形,而是十七角星,因?yàn)樨?fù)責(zé)刻碑的雕刻家認(rèn)為,正十七邊形和圓太像了,大家一定分辨不出來。

　　1799年高斯提出了他的博士論文,這論文證明了代數(shù)一個(gè)重要的定理:

　　任一多項(xiàng)式都有(復(fù)數(shù))根。這結(jié)果稱為「代數(shù)學(xué)基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)。

　　事實(shí)上在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為已給出了這個(gè)結(jié)果的證明,可是沒有一個(gè)證明是嚴(yán)密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來,然后提出自己的見解,他一生中一共給出了四個(gè)不同的證明。

　　在1801年,高斯二十四歲時(shí)出版了《算學(xué)研究》(Disquesitiones Arithmeticae),這本書以拉丁文寫成,原來有八章,由于錢不夠,只好印七章。

　　這本書除了第七章介紹代數(shù)基本定理外,其余都是數(shù)論,可以說是數(shù)論第一本有系統(tǒng)的著作,高斯第一次介紹「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。

　　二十四歲開始,高斯放棄在純數(shù)學(xué)的研究,作了幾年天文學(xué)的研究。

　　當(dāng)時(shí)的天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已,認(rèn)為火星和木星間應(yīng)該還有行星未被發(fā)現(xiàn)。在1801年,意大利的天文學(xué)家Piazzi,發(fā)現(xiàn)在火星和木星間有一顆新星。它被命名為「谷神星」(Cere)�，F(xiàn)在我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個(gè),但當(dāng)時(shí)天文學(xué)界爭(zhēng)論不休,有人說這是行星,有人說這是彗星。必須繼續(xù)觀察才能判決,但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道,再來,它便隱身到太陽后面去了。因此無法知道它的軌道,也無法判定它是行星或彗星。

　　高斯這時(shí)對(duì)這個(gè)問是產(chǎn)生興趣,他決定解決這個(gè)捉摸不到的星體軌跡的問題。高斯自己獨(dú)創(chuàng)了只要三次觀察,就可以來計(jì)算星球軌道的方法。他可以極準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)行星的位置。果然,谷神星準(zhǔn)確無誤的在高斯預(yù)測(cè)的地方出現(xiàn)。這個(gè)方法--雖然他當(dāng)時(shí)沒有公布--就是「最小平方法」 (Method of Least Square)。

　　1802年,他又準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了小行星二號(hào)--智神星(Pallas)的位置,這時(shí)他的聲名遠(yuǎn)播,榮譽(yù)滾滾而來,俄國(guó)圣彼得堡科學(xué)院選他為會(huì)員,發(fā)現(xiàn)Pallas的天文學(xué)家Olbers請(qǐng)他當(dāng)哥廷根天文臺(tái)主任,他沒有立刻答應(yīng),到了1807年才前往哥廷根就任。

　　1809年他寫了《天體運(yùn)動(dòng)理論》二冊(cè),第一冊(cè)包含了微分方程、圓椎截痕和橢圓軌道,第二冊(cè)他展示了如何估計(jì)行星的軌道。高斯在天文學(xué)上的貢獻(xiàn)大多在1817年以前,但他仍一直做著觀察的工作到他七十歲為止。雖然做著天文臺(tái)的工作,他仍抽空做其他研究。為了用積分解天體運(yùn)動(dòng)的微分力程,他考慮無窮級(jí)數(shù),并研究級(jí)數(shù)的收斂問題,在1812年,他研究了超幾何級(jí)數(shù)(Hypergeometric Series),并且把研究結(jié)果寫成專題論文,呈給哥廷根皇家科學(xué)院。

　　1820到1830年間,高斯為了測(cè)繪汗諾華(Hanover)公國(guó)(高斯住的地方)的地圖,開始做測(cè)地的工作,他寫了關(guān)于測(cè)地學(xué)的書,由于測(cè)地上的需要,他發(fā)明了日觀測(cè)儀(Heliotrope)。為了要對(duì)地球表面作研究,他開始對(duì)一些曲面的幾何性質(zhì)作研究。

　　1827年他發(fā)表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva),涵蓋一部分現(xiàn)在大學(xué)念的「微分幾何」。

　　在1830到1840年間,高斯和一個(gè)比他小廿七歲的年輕物理學(xué)家-韋伯(Withelm Weber)一起從事磁的研究,他們的合作是很理想的:韋伯作實(shí)驗(yàn),高斯研究理論,韋伯引起高斯對(duì)物理問題的興趣,而高斯用數(shù)學(xué)工具處理物理問題,影響韋伯的思考工作方法。

　　1833年高斯從他的天文臺(tái)拉了一條長(zhǎng)八千尺的電線,跨過許多人家的屋頂,一直到韋伯的實(shí)驗(yàn)室,以伏特電池為電源,構(gòu)造了世界第一個(gè)電報(bào)機(jī)。

　　1835年高斯在天文臺(tái)里設(shè)立磁觀測(cè)站,并且組織「磁協(xié)會(huì)」發(fā)表研究結(jié)果,引起世界廣大地區(qū)對(duì)地磁作研究和測(cè)量。

　　高斯已經(jīng)得到了地磁的準(zhǔn)確理,他為了要獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的證明,他的書《地磁的一般理論》拖到1839年才發(fā)表。

　　1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場(chǎng)圖,而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。 1841年美國(guó)科學(xué)家證實(shí)了高斯的理論,找到了磁南極和磁北極的確實(shí)位置。

　　高斯對(duì)自己的工作態(tài)度是精益求精,非常嚴(yán)格地要求自己的研究成果。他自己曾說:「寧可發(fā)表少,但發(fā)表的東西是成熟的成果。」許多當(dāng)代的數(shù)學(xué)家要求他,不要太認(rèn)真,把結(jié)果寫出來發(fā)表,這對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展是很有幫助的。

　　其中一個(gè)有名的例子是關(guān)于非歐幾何的發(fā)展。非歐幾何的的開山祖師有三人,高斯、 Lobatchevsky(羅巴切烏斯基,1793～1856), Bolyai(波埃伊,1802～1860)。其中Bolyai的父親是高斯大學(xué)的同學(xué),他曾想試著證明平行公理,雖然父親反對(duì)他繼續(xù)從事這種看起來毫無希望的研究,小Bolyai還是沉溺于平行公理。最后發(fā)展出了非歐幾何,并且在1832～1833年發(fā)表了研究結(jié)果,老Bolyai把兒子的成果寄給老同學(xué)高斯,想不到高斯卻回信道:

　　to praise it would mean to praise myself.我無法夸贊他,因?yàn)榭滟澦�就等于夸�?jiǎng)我自己。

　　早在幾十年前,高斯就已經(jīng)得到了相同的結(jié)果,只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。

　　美國(guó)的著名數(shù)學(xué)家貝爾(E.T.Bell),在他著的《數(shù)學(xué)工作者》(Men of Mathematics) 一書里曾經(jīng)這樣批評(píng)高斯:

　　在高斯死后,人們才知道他早就預(yù)見一些十九世的數(shù)學(xué),而且在1800年之前已經(jīng)期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏,很可能現(xiàn)在數(shù)學(xué)早比目前還要先進(jìn)半個(gè)世紀(jì)或更多的時(shí)間。阿貝爾(Abel)和雅可比(Jacobi)可以從高斯所停留的地方開始工作,而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時(shí)就知道的東西。而那些非歐幾何學(xué)的創(chuàng)造者,可以把他們的天才用到其他力面去。

　　在1855年二月23日清晨,高斯在他的睡夢(mèng)中安詳?shù)娜ナ懒恕?/p>