數(shù)學(xué)家的故事─劉徽

　　劉徽（生于公元250年左右），是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．

　　《九章算術(shù)》約成書(shū)于東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣"，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．

　　《海島算經(jīng)》一書(shū)中， 劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目．

　　劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人．

　　劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富．

　　劉徽從事數(shù)學(xué)研究時(shí)，中國(guó)創(chuàng)造的十進(jìn)位記數(shù)法和計(jì)算工具“算籌”已經(jīng)使用一千多年了。在世界各種各樣的記數(shù)法中，十進(jìn)位記數(shù)法是最先進(jìn)、最方便的。中國(guó)古代數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)晶“九章算術(shù)”也成書(shū)三百多年了。“九章算術(shù)”反映的是中國(guó)先民在生產(chǎn)勞動(dòng)、丈量土地和測(cè)量容積等實(shí)踐活動(dòng)中所創(chuàng)造的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括方田、粟米、哀分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，是中國(guó)古代算法的基礎(chǔ)，它含有上百個(gè)計(jì)算公式和246個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，有完整的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則，比例和比例分配算法，若干面積、體積公式，開(kāi)平方、開(kāi)立方程序，方程術(shù)--線性方程組解法，正負(fù)數(shù)加減法則，解勾股形公式和簡(jiǎn)單的測(cè)望問(wèn)題算法。其中許多成就處于世界領(lǐng)先地位。公元元年前年，盛極一時(shí)的古希臘數(shù)學(xué)走向衰微，“九章算術(shù)”的出現(xiàn)，標(biāo)志著世界數(shù)學(xué)研究中心從地中海沿岸轉(zhuǎn)到了中國(guó)，開(kāi)創(chuàng)了東方以應(yīng)用數(shù)學(xué)為中心占據(jù)世界數(shù)學(xué)舞臺(tái)主導(dǎo)地位千余年的局面。在編排上，“九章算術(shù)”或者先提出術(shù)文(命題)，后列出幾個(gè)例題，或者先列出一個(gè)或幾個(gè)例題，后提出術(shù)文。然而它對(duì)所用的概念沒(méi)有定義，對(duì)所有的術(shù)文沒(méi)作任何推導(dǎo)證明，個(gè)別的公式尚有不精確或失誤之處。東漢以后的許多學(xué)者都研究過(guò)“九章算術(shù)”，但理論建樹(shù)不大。劉徽著作的“九章算術(shù)注”，主要是給“九章算術(shù)”的術(shù)文作解釋和邏輯證明，更正其中的個(gè)別錯(cuò)誤公式，使后人在知其然的同時(shí)又知其所以然。有了劉徽的注釋?zhuān)?ldquo;九章算術(shù)”才得以成為一部完美的古代數(shù)學(xué)教科書(shū)。

　　在“九章算術(shù)注”中，劉徽發(fā)展了中國(guó)古代“率”的思想和“出入相補(bǔ)”原理。用“率”統(tǒng)一證明“九章算術(shù)”的大部分算法和大多數(shù)題目，用“出入相補(bǔ)”原理證明了勾股定理以及一些求面積和求體積公式。為了證明園面積公式和計(jì)算園周率，劉徽創(chuàng)立了割園術(shù)。在這徽之前人們?cè)�試圖證明它，但是不嚴(yán)格。劉徽提出了基于極限思想的割園術(shù)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了園面積公式。他還用無(wú)窮小分割的思想證明了一些錐體體積公式。在計(jì)算園周率時(shí)，劉徽應(yīng)用割園術(shù)，從園內(nèi)接正六邊形出發(fā)，依次計(jì)算出園內(nèi)接正12邊形、正24邊形、正48邊形，直到園內(nèi)接正192邊形的面積，然后使用現(xiàn)在稱(chēng)之為的“外推法”，得到了園周率的近似值3.14，糾正了前人“周三徑一”的說(shuō)法。“外推法”是現(xiàn)代近似計(jì)算技術(shù)的一個(gè)重要方法，劉徽遙遙領(lǐng)先于西方發(fā)現(xiàn)了“外推法”。劉徽的割園術(shù)是求園周率的正確方法，它奠定了中國(guó)園周率計(jì)算長(zhǎng)期在世界上領(lǐng)先的基礎(chǔ)。據(jù)說(shuō)，祖沖之就是用劉徽的方法將園周率的有效數(shù)字精確到7位。在割園過(guò)程中，要反復(fù)用到勾股定理和開(kāi)平方。為了開(kāi)平方，劉徽提出了求“微數(shù)”的思想，這與現(xiàn)今無(wú)理根的十進(jìn)小數(shù)近似值完全相同。求微數(shù)保證了計(jì)算園周率的精確性。同時(shí)，劉徽的微數(shù)也開(kāi)創(chuàng)了十進(jìn)小數(shù)的先河。

　　劉徽治學(xué)態(tài)度嚴(yán)肅，為后世樹(shù)立了楷模。在求園面積公式時(shí)，在當(dāng)時(shí)計(jì)算工具很簡(jiǎn)陋的情況下，他開(kāi)方即達(dá)12位有效數(shù)字。他在注釋“方程”章節(jié)18題時(shí)，共用1500余字，反復(fù)消元運(yùn)算達(dá)124次，無(wú)一差錯(cuò)，答案正確無(wú)誤，即使作為今天大學(xué)代數(shù)課答卷亦無(wú)遜色。劉徽注“九章算術(shù)”時(shí)年僅30歲左右。北宋大觀三年(1109)劉徽被封為淄鄉(xiāng)男。