曹沖稱象與七橋問(wèn)題

　　傳說(shuō),在公元前287年,敘拉古王國(guó)的國(guó)王打了勝仗,為了慶祝勝利,他決定獻(xiàn)給神一頂金子做的王冠。他找來(lái)一位珠寶商,給了他一些金子讓他制造一頂王冠。王冠制作得很漂亮,重量也跟原來(lái)國(guó)王給的黃金一樣重。但是國(guó)王還是懷疑珠寶商盜竊了一部分黃金,而在王冠中摻進(jìn)了同等重量的白銀。他請(qǐng)阿基米德鑒定王冠是不是純金的,但不許拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天,都不得要領(lǐng)。一天,他跨入盛滿水的浴缸洗澡,看到水向外溢,頓時(shí)豁然開(kāi)朗,興奮地喊:“我找到檢驗(yàn)王冠的方法了”。

　　阿基米德由此發(fā)現(xiàn)了浮力定理,從而解決了王冠的檢驗(yàn)問(wèn)題。

　　在我國(guó)古代,也流傳一個(gè)利用浮力原理的“曹沖稱象”的故事。曹操的兒子曹沖小時(shí)候非常聰明。一天,有人送給曹操一只大象,曹操很高興,想知道這個(gè)龐然大物究竟有多重。但是到哪里去找這樣大的秤呢?魏國(guó)的謀臣武士們絞盡腦汁,也想不出一個(gè)辦法。小小的曹沖卻想出了一個(gè)妙法:他教人把大象牽到一只大木船上,刻下木船的吃水深度;然后把大象牽下船而向船上裝進(jìn)一些石塊,讓木船吃水深度與原來(lái)的刻度一致時(shí)即停止繼續(xù)裝石塊。根據(jù)浮力原理,大象的重量和船上石塊的重量相等,而分散的石塊是可以用普通的秤稱出其重量的。“曹沖稱象”成為千古美談。

　　“曹沖稱象”的思想不僅僅是利用了物理學(xué)中的浮力原理,也利用了數(shù)學(xué)中一個(gè)極為普遍的思想:轉(zhuǎn)化思想。即把有待解決的問(wèn)題,通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或已經(jīng)知道其解決方法的問(wèn)題。

　　從某種意義上講,數(shù)學(xué)證明或數(shù)學(xué)計(jì)算中的每一步都是一種轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的一種思想�？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)。轉(zhuǎn)化能力的高低是衡量一個(gè)人數(shù)學(xué)水平的重要標(biāo)志之一。

　　匈牙利數(shù)學(xué)家羅莎曾經(jīng)對(duì)此作過(guò)一個(gè)有趣的比喻:

　　假如在你面前有煤氣灶、水壺、水籠頭和火柴,現(xiàn)在要燒一壺開(kāi)水,你應(yīng)該怎樣做?

　　回答很簡(jiǎn)單,誰(shuí)都知道應(yīng)該怎樣做。在水壺中加滿水;點(diǎn)燃煤氣;把水壺放到煤氣灶上。

　　接著羅莎再提出問(wèn)題:現(xiàn)在所有的條件都和原來(lái)一樣,只是水壺中已灌滿了水,這時(shí)你又應(yīng)該怎樣做?對(duì)于這一問(wèn)題人們通常的回答往往是:那就只要點(diǎn)燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上就可以了。但羅莎指出,這不是最好的回答,因?yàn)橹挥形锢韺W(xué)家才會(huì)這樣做,而數(shù)學(xué)家則會(huì)倒去壺中的水,因?yàn)樗�已�?jīng)把后一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前一個(gè)問(wèn)題了,而前一問(wèn)題是已經(jīng)解決了的。

　　羅莎的比喻也許過(guò)于夸張,但它的確表明了數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)特點(diǎn),善于使用轉(zhuǎn)化的方法。

　　在18世紀(jì),東普魯士哥尼斯堡(今屬立陶宛共和國(guó))內(nèi)有一條大河,河中有兩個(gè)小島。全城被大河分割成四塊陸地。河上架有七座橋,把四塊陸地像圖1那樣聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)時(shí)許多市民都在思索如下的問(wèn)題:一個(gè)散步者能否從某一陸地出發(fā),不重復(fù)地經(jīng)過(guò)每座橋一次,最后回到原來(lái)的出發(fā)地。

　　這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題。

　　這個(gè)問(wèn)題似乎不難解決,所以吸引了許多人都想來(lái)試試看,但是日復(fù)一日誰(shuí)也沒(méi)有得出確定的答案。于是有人便寫信給當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707 ～1783)求教。歐拉畢竟是數(shù)學(xué)家,他并沒(méi)有去重復(fù)人們已多次失敗了的試驗(yàn),而是首先產(chǎn)生了一種直覺(jué)的猜想:許多人千百次的失敗,也許意味著這樣的走法根本就不存在。于是歐拉把七橋問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)的抽象。用A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)表示四塊陸地,用兩點(diǎn)間的一條線表示聯(lián)接兩塊陸地之間的一座橋,就得到如圖2那樣一個(gè)由四個(gè)點(diǎn)和七條線組成的圖形。

　　于是,七橋問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)象圖2那樣的圖形是否可以“一筆畫”的問(wèn)題。什么叫“一筆畫”呢?那就是筆不準(zhǔn)離開(kāi)紙,一氣畫成整個(gè)圖形,但每一條線只許畫一次,不得重復(fù)。像圖2這樣的圖形能不能一筆畫呢?1736年歐拉證明了:答案是否定的。

　　為什么呢?

　　因?yàn)槌�了起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,我們把其余的點(diǎn)稱為中間點(diǎn)。如果一個(gè)圖可以一筆畫的話,對(duì)于每一個(gè)中間點(diǎn)來(lái)說(shuō),當(dāng)畫筆沿某條線到達(dá)這一點(diǎn)時(shí),必定要沿另一條線離開(kāi)這點(diǎn),并且進(jìn)入這點(diǎn)幾次,就要離開(kāi)這點(diǎn)幾次,一進(jìn)一出,兩兩配對(duì),所以從這點(diǎn)發(fā)出的線必然要是偶數(shù)條。因此,一個(gè)圖形能否一筆畫就有了一個(gè)判別準(zhǔn)則:

　　一個(gè)可以一筆畫的圖形最多只能有兩個(gè)點(diǎn)(起點(diǎn)和終點(diǎn))與奇數(shù)條線相連。

　　再看圖2中的四個(gè)點(diǎn)都是與奇數(shù)條(三條或五條)線相連的,根據(jù)這一判別準(zhǔn)則,是不能一筆畫的。

　　從而證明了七橋問(wèn)題所要求的走法是不存在的。

　　曾經(jīng)難倒許多人的七橋問(wèn)題,經(jīng)過(guò)歐拉這一轉(zhuǎn)化,就像哥倫布豎雞蛋一樣,簡(jiǎn)單而圓滿地解決了。

　　湖南教育出版社 歐陽(yáng)維誠(chéng)