佛教的數(shù)學

　　《星云大師講演集》-佛教的數(shù)學

　　地點:立信會計職業(yè)學校

　　聽眾:老師.學生

　　一.先解說數(shù)量

　　二.次說空量

　　三.再說時量

　　四.佛教看數(shù)量

　　五.佛教看空量

　　六.佛教看時量

　　各位老師、各位同學:

　　你們在這里是研究會計學的,會計這一門學問是離不了數(shù)學的,無論是政府會計、銀行會計、成本會計,如果沒有很好的數(shù)學基礎,也是不能入門的�，F(xiàn)在我來和各位談談佛教中的數(shù)學。

　　我們生存在世間上,一切的思想、言說,都是用推比來覺知的,這個推比首要的工具就是數(shù)量,不然的話,我們既無法求得覺知,也無法運用思想言說。數(shù)量不離數(shù)學,一切科學是以數(shù)學為基礎,即使哲學上也有人主張數(shù)量是宇宙萬有的本源(如老莊說道生一,一生二,二生三,三生萬物),這都是由于一般人懂得了比量而沒有了解到真現(xiàn)實量。

　　現(xiàn)在,我們就先從比量上的數(shù)學說起:

　　本來,數(shù)學并不是單來計算數(shù)量的,除了數(shù)量的計算以外,更有空量(空間)和時量(時間)的計算。數(shù)量的計算,好比二加二等于四,空量的計算如形體的幾何學,時量的計算即古今過去現(xiàn)在未來。但是,在空量和時量上,還是離開不了數(shù)量,所以,近人就綜合之稱為數(shù)學。

　　數(shù)學中既然分有數(shù)量、空量、時量,我現(xiàn)在就以佛學上的說法,把它一一解釋如下:

　　一.先解說數(shù)量

　　我們中國計算數(shù)量是以十進制,共計為:一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載的等單位。實際上現(xiàn)在億以上都是由萬數(shù)來表達,比如十萬,百萬,千萬等,億兆的數(shù)量名稱已不多用,京垓秭壤更是少人知道了。

　　這不但中國是如此,就是說西洋的計數(shù),雖然或者是不止這些單位,但實際用的也不過六七位。佛教各經(jīng)論中,計算數(shù)量多用洛叉(億)、俱胝(京)、阿僧只等,實在已經(jīng)超過人間常用的數(shù)字。在大小乘的論典中,以及《佛所行贊》、《法華經(jīng)》、《華嚴經(jīng)》等,雖然計算數(shù)法及數(shù)目多少的次序,并不一致,但綜合的來看,還是一般的十進的加法與倍進的乘法而已。

　　現(xiàn)在解說佛經(jīng)上的數(shù)量,分三點次第說明,一是代表初期小乘佛學的上座部說,二是代表后期小乘的《俱舍論》說,三是代表大乘學的《華嚴經(jīng)》說。

　　初期的原始佛教,本分有上座部與大眾部,今日錫蘭、緬甸、暹羅所傳的佛教,就是屬于上座部,這一派對于數(shù)量的說法,根據(jù)所傳承而共信的,從十進百的十進制,共十六位,和我國的數(shù)量相較,已多了二位,因為中國雖然也說有十六位,但那是從一數(shù)起。上座部的十六位數(shù)量,并不是佛學所特有的,古來印度相傳的計算方法,就是這十六位,今列表如左:

　　十個十等于一百

　　十個百等于一千

　　十個千等于一萬

　　十個萬等于一洛叉(億)

　　十個洛叉等于一大洛叉(兆)

　　十個大洛叉等于一俱胝(京)

　　十個俱胝等于一額部曇(垓)

　　十個額部曇等于一缽曇摩

　　十個缽曇摩等于一大阿庾多

　　十個阿庾多等于一那庾多

　　十個那庾多等于一大缽曇摩

　　十個大缽曇摩等于一缽羅庾多缽十個缽羅庾多等于一三慕達羅(正)

　　十個三慕達羅等于一末陀(載)

　　十個末陀等于一大矜羯羅

　　十個大矜羯羅等于一頻跋羅

　　在這十六位的前面,如果再加上一數(shù)字及十數(shù)字,則成十八位,就是十個萬萬萬萬,我國的十六位不過是千個萬萬萬。

　　世界各國通用的數(shù)字,雖然至兆即止,但文化是發(fā)達進步的,佛教的學者們覺得此數(shù)還不夠用,所以又有《俱舍論》五十一位的數(shù)量位的產(chǎn)生。

　　《俱舍論》五十一位的數(shù)量位,也是十進法,把這五十一位的名稱寫在下面:

　　一百千萬洛叉

　　大洛叉俱胝末陀阿庾多大阿庾多

　　阿庾多大那庾多缽羅庾多大缽羅庾多 矜羯羅

　　大矜羯羅 一頻跋羅 (上座部止此)大頻跋羅阿蒭婆

　　大阿蒭婆 毘婆訶大毘婆訶一嗢蹭伽大嗢蹭伽

　　婆喝那大婆喝那地致婆大地致醯醯都

　　大醯都羯臘婆大羯臘婆印達羅大印達羅

　　三摩缽耽 大三摩缽耽揭底大揭底拈筏羅阇

　　大拈筏羅阇 姥達羅大姥達羅跋藍大跋藍

　　珊若大珊若毘步多大毘步多跋羅攙

　　大跋羅攙阿僧只耶

　　最高的五十一位阿僧只數(shù),就是千個萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬的數(shù)量,佛經(jīng)里記載佛陀的說法,常用的阿僧只的數(shù)字,就是指此數(shù)而說。在《華嚴經(jīng)》中也曾說到阿僧只,但那個阿僧只并不是這里所說的十進制的阿僧只,因為數(shù)目分三等:一、下等數(shù)法,十十變之,二、中等數(shù)法,百變之,三、上等數(shù)法,倍倍變之�！度A嚴經(jīng)》所說,雖然駭人聽聞,但近來研究科學的學者,計算太陽系的原子數(shù),或是計算太陽系生長變壞的秒數(shù),應該是不為多。他們說:光的速率為一八六二八○哩,在一秒鐘內(nèi)光能環(huán)繞地球七周半。據(jù)現(xiàn)代科學所能了

　　知的宇宙直徑為一百萬萬光年,其質(zhì)量為在一字的下面圈八十三個圈,即等于所有電子的質(zhì)量,如果這個數(shù)字不用佛經(jīng)中的數(shù)目表明,則一字之下圈八十三個圈的數(shù)量,將叫什么名稱呢?即使以《俱舍論》所說的五十一位,也尚嫌不足,那只得進一步探究《華嚴經(jīng)》所說的數(shù)字了。

　　《華嚴經(jīng)》中所說的數(shù)量,是在《華嚴經(jīng)》中的,心王菩薩問佛:云何阿僧只乃至不可說?佛就為他說算數(shù)無盡之法。

　　茲將《華嚴經(jīng)》中所說的數(shù)量,列之于下:

　　俱胝(千萬)阿庾多那由他頻波羅

　　矜羯羅阿伽摩最勝摩部羅

　　阿部羅多部羅界分普摩

　　禰摩阿部鈐彌伽婆毘攞伽

　　毘伽婆僧羯羅摩毘薩羅毘贍婆

　　毘盛伽毘素陀毘婆訶毘薄底

　　毘怯擔稱量一持異路

　　顛倒三末耶毘睹羅奚婆羅

　　伺察周廣高出最妙

　　泥婆羅訶理婆一動訶理蒲

　　訶理三奚魯伽達攞步陀訶魯那

　　摩魯陀懺慕陀醫(yī)攞陀摩魯摩

　　調(diào)伏離憍慢不動極量

　　阿么擔羅阿么怛羅奚么怛羅鞞么怛羅

　　缽羅么怛羅尸婆么怛羅 翳羅薛羅

　　諦羅偈羅窒步羅泥羅

　　計羅細羅睥羅謎羅

　　娑羅茶謎魯陀契魯陀摩睹羅

　　娑母羅阿野婆迦摩羅摩迦婆

　　阿怛羅醯魯耶薛魯婆羯羅波

　　訶婆婆毘婆羅那婆羅摩攞羅

　　娑婆羅迷攞普 者么羅馱摩羅

　　缽(左手+右羅)么陀 毘伽摩烏波跛多演說

　　無盡出生無我阿畔多

　　青蓮華缽頭摩僧只趣

　　至(以上十地菩薩數(shù)學)阿僧只(以下為佛陀之學)

　　阿僧只轉(zhuǎn)無量無量轉(zhuǎn)無邊

　　無邊轉(zhuǎn)無等無等轉(zhuǎn)不可數(shù)

　　不可數(shù)轉(zhuǎn)不可稱不可稱轉(zhuǎn)不可思

　　不可思轉(zhuǎn)不可量不可量轉(zhuǎn)不可說

　　不可說轉(zhuǎn)不可說不可說

　　不可說不可說轉(zhuǎn)(以上是真比量的極量)

　　《華嚴經(jīng)》中所說的數(shù)量位共有一百二十六位,俱胝以前,是平常世俗的數(shù)字,都是十進的加法,俱胝以后,為一般科學者研究的數(shù)字,依此可以漸漸的測知佛陀所證知的數(shù)字。佛陀的數(shù)學,從阿僧只起,共有二十位,這是用倍倍相乘的進法,其數(shù)之多,窮于計算。在《華嚴經(jīng)》中,其余各品都是菩薩說的,唯有這是佛親口所說,菩薩只能從佛陀學習這樣的數(shù)學。因為虛空無盡,世界無盡,眾生無盡,若沒有佛陀的數(shù)學,則其中廣大狹小,一切名稱,無由得知,所以,唯有佛陀的智能才能窮究數(shù)學之源。

　　二.次說空量

　　在數(shù)學里,計算空間點線面積的是幾何學,佛學里并不曾縝密的另創(chuàng)新說,不過,在大乘的學說中,對于空間,佛陀也曾泛言佛剎與微塵數(shù),對于佛剎而論及十方無盡世界;對于微塵,并不詳言微塵的數(shù)量,以及微塵如何積聚而成佛剎。這是因為大乘人了解到有情的器世間等,都是幻象不真,所以只觀空而不分析;而小乘是以分析觀空,故對極微曾加以分析。當初印度的佛學者,對萬物起源的研究,認為是地水火風四大種因緣所組成,雖然一切萬物是四大種因緣組合而成,但四大種也必有他的出發(fā)點,以形成單位,然后山河大地,才得以形成。這種假想分析證明法,是說四大迭分迭細,至于極緲小的地位,科學經(jīng)驗不能覺知,物理手續(xù)不能分割,此即名之為極微。近代科學家以物理的分析為最細小的是原子、電子,但電子還可分析,此即佛教中所說的極微。

　　今以小乘《俱舍論》,以最單點為極微,則七個極微為一個微量,積七個微量為一個金塵量,積七金塵為一水塵量,積七水塵為一兔毛塵量,積七兔毛塵為一羊毛塵量,積七羊毛塵為一牛毛塵量,積七牛毛塵為一隙游塵量。這個隙游塵飛散在空中,就是我們?nèi)庋鬯�見的色塵,其逐次增加的數(shù)目,列表如左:

　　極 微──一個極微

　　微──七個極微

　　金 塵四十九個極微

　　水 塵──三百四十三個極微

　　兔毛塵──二千四百零一個極微

　　羊毛塵──一萬六千八百零七個極微

　　牛毛塵──十一萬七千六百四十九個極微

　　隙游塵──八十二萬三千五百四十三個極微

　　以八十二萬三千五百四十三個極微,成為一個隙游塵,那么,則極微的緲小,很可驚人了!

　　微塵是約集合空量的小數(shù)單位而言,若一個佛剎或一個國土,究以多少微塵集合而成,以我們普通的數(shù)法,那是難以計算的!

　　佛經(jīng)里講到空間的距離,依印度習俗都是用由旬,由旬梵語是踰繕那,華言限量,分有三等,上等由旬八十華里,中等由旬六十華里,下等由旬四十華里。佛經(jīng)里對于空間的距離,有時一說就是八萬四千由旬。有時一說就是十萬億佛土,實際上說來,這都是把抽象的變?yōu)榫唧w罷了!

　　三.再說時量

　　我們看到月亮的圓缺,知道時間的運轉(zhuǎn)不停;我們體察心念的生滅,知道了時間的短暫。我們?nèi)祟惼胀ǖ挠嬎銜r間,最短的是一瞬,為時間最小的單位;把時間說得很長的是生物學者,他們的生物紀一說都是若干萬年;地質(zhì)學者更有較長的地層紀,他們一說都是幾千萬年;最長的是天文學者的天體紀,一說都是若干萬萬年。雖然如此,但與佛陀的相較,相差程度是不能想象的。

　　“一瞬”的正確時間究竟有多少?經(jīng)過很多科學家實驗后的平均值是五分之二秒,這其中包括:放下眼瞼是十分之一秒,眼瞼放下后的停止狀態(tài)是十分之一點五秒,眼瞼又再提升是十分之一點五秒,總合之一瞬即五分之二秒。以我們中國計算時間的說法,從一瞬推上去是一須臾,但多少一瞬才為一須臾,是沒有辦法計算的。有的計算時間是三十須臾為一時辰,十二時辰為一晝夜,約三十晝夜為一月,三月為一季,四季為一年,三十年為一世,如此而止�，F(xiàn)在世界所通用的是六十忽為一秒,六十秒為一分,十五分為一刻,四刻為一小時,二十四小時為一日,約三十日為一月,約三百六十五日分為十二月為一年,百年為一世紀,每逢百年增數(shù)為一世紀。

　　世間對時量的一般計算,略如上說,那么佛學中的時量如何計算呢?

　　佛學中的時量,分小時,中時,大時,以《俱舍論》之說略解如下:

　　小時量的計算:在佛學中大抵是以“剎那”為時量最小的單位。在《仁王護國經(jīng)》中說,梵語剎那,中國的意思名為一念,一念中有九十剎那,一剎那中有九百生滅,若具體一點說,所謂“少壯一彈指,六十三剎那”。一分鐘內(nèi),為四千五百個剎那�！洞髿称派痴摗氛f一晝夜有六四六.六零六、六六八○剎那。實在說來,剎那的真量,除佛陀外余皆不能盡知,因為能知的心念粗細懸殊,所知的時量也就千差萬別。今以《俱舍論》的說明如下:

　　百二十剎那為一怛剎那

　　六十怛剎那為一臘縛

　　三十臘縛為一牟呼栗多

　　五牟呼栗多為一迦攞

　　六迦攞為一晝夜

　　依這樣的推算,則一晝夜是三千二百八十二萬剎那,比《毘婆沙論》的六十四萬萬六千六百零六萬六千六百八十個剎那為一晝夜的計算是粗顯得多了。因為這樣才便于常人及學者的運用,若準確微細計算時間,除了佛陀,不是我們心量所能覺察思辨的。

　　中時量的計算:佛經(jīng)里常有晝夜六時的記載,此即指六迦(左手+右羅)而言,一個晝夜,分為六時,晝?nèi)龝r,即上日(辰巳)中日(午未)下日(申酉),夜三時,即初夜(戌亥)中夜(子丑)后夜(寅卯)。從晝夜往上推,則為:

　　三十晝夜為一月

　　四個月為一季(我國三個月為一季,一年為春夏秋冬四季,蓋印度每年分寒季雨季熱季,與他處不同)

　　三季為一年

　　一百年為一世(我國三十年為一世)

　　五百年為一變(此可見于釋尊說法初五百年如何,后五百年如何可知)

　　一千年為一化(此可見釋尊說正法千年象法千年可知)

　　一萬二千年為一周(此可見釋尊說正法象法末法共為一萬二千年可知)

　　從中時量的計算,我們可以看出,佛教說小時量的單位為剎那,說大時量的為大劫,這是因為剎那便于體察心念的生滅,大劫便于說明物界成壞的相續(xù),中時量對于人文的相續(xù),較欠詳盡的發(fā)揮,所以對于年以上的世態(tài)變遷,就很難知道它的歷史了。

　　大時量的計算:佛學中說大時量常用“劫”字,劫就是大時的意思。分小劫中劫大劫三種。一個小劫究竟是多少時間?從人壽十歲算起,每過一百年增加一歲,加到八萬四千歲,然后再從八萬四千歲每隔一百年減一歲,減到十歲,總共一千六百八十萬年叫做一小劫。以此往上推,則為:

　　一個小劫為一千六百八十萬年

　　二十個小劫為一個中劫

　　四個中劫為一個大劫〔一個大劫中有成(世界生長期)住(世界壯盛期)壞(世界老死期)空(世界滅無期)〕,如此成住壞空相續(xù)循環(huán)一次為一大劫。

　　七個大劫(亦名火壞劫)為一水壞劫

　　七個水壞劫為一風壞劫

　　以這樣計算,一個風壞劫中有七水劫,四十九火劫,一百九十六中劫,三千九百二十小劫,六百五十八萬萬五千六百萬年。佛經(jīng)里常說的劫,大都指的這風水火的劫而言,有些經(jīng)里常說到釋尊修三大阿僧只劫而得成佛果的故事,在這三大阿僧只劫中,忍人所不能忍,行人所不能行,然后方于菩提樹下成等正覺。這種時量之長,真夠駭人!《彌陀經(jīng)》中,說“阿彌陀佛成佛以來,于今十劫”的時量,也是很難計算的了。

　　四.佛教看數(shù)量

　　依佛教的真理來講數(shù)量,原來是:

　　一個不是少 萬億不是多 一就是多 多不離一

　　對佛教沒有研究的人,見了這句話,一定大惑不解,然而,這的確是一種真理,無法加以否認。

　　我們現(xiàn)在來講“一個”,什么才叫做“一個”呢?我在這里和諸位講話,“我”是一個;我在這間教室中講話,這間教室也是一個;這間教室在臺北,臺北也只一個;臺北在臺灣,臺灣也只有一個;臺灣是中國,中國也是一個;中國是世界的一環(huán),世界也是一個;世界是虛空中的一個行星,然而虛空也是一個。宇宙中沒有兩個同樣的東西,然而這些“一個”,究竟哪里“一個”多,哪里“一個”少呢?所以,仔細的想想,一個實在不能說它是少的!反之,萬億也在“一個”之中,也不能說它多。因為一是不離多,多是不離一的。在佛教中,說萬物相關,萬物一體。一與多,兼容相入,一就是多,多也就是一。好比說,零本來沒有,但把零圈在一萬萬的后面,這個零可就太多了。黑板的粉筆,這粉筆的一�；覊m,就是集合了萬物的力量才能形成的。這一粒粉筆的灰塵,假若是白粉的泥土做的,那么,就離不了做這支粉筆的模型、工作的人員、養(yǎng)活那些工作人員的衣食住行等資源,他們都有密切不能離開的關系。衣食住行從何而來?那又不能離開供給衣食住行的世界上一切的人,還有,產(chǎn)生這些原料的土地與日光空氣水,如果缺少一個,這點粉筆的灰塵都不會做成,都不會落在這里。所以說一中含多,多中含一;一個不是少,億萬不是多,一與多是表里的關系,并沒有特別的兩樣。

　　實在說來,這一與多,本來是不可說的,在《維摩經(jīng)》中,文殊問維摩詰:『何等是菩薩入不二法門?』時維摩詰默然無言!文殊歎曰:『善哉!乃至無有文字語言,是真入不二法門�！弧安欢�法門”,這正是數(shù)量無一無多的最好說明。

　　五.佛教看空量

　　依佛教的真理來講空量,原來是:

　　大中有小 小中含大 遠不在天邊 近不在眼前

　　研究佛教的人,都知道螺螄殼內(nèi),諸佛菩薩可以作道場,這是多么不可思議的境界!佛于一毫端中,光明能遍周法界,這又是多么難猜測的事情!然而,這決不是異想天開的神話,而確是如此的。

　　前面曾說過,空量的最小是微塵,最大的是剎土。現(xiàn)在假定說,十萬萬個太陽系,大千世界為最大量,這是今日天文學中所能窺探的,但這只是人類比量所知的境界,若以人身上的細胞來說,把我們?nèi)松砜闯墒堑厍?而人間的地球,即成為不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情來說,他們身高十萬踰繕那,大于地球好多倍,我們此世界人類,其小甚于彼身上的細胞。一只烏龜每小時可走七公尺,在同一時間內(nèi),一只兔子可跑六十五公里。人類嫌其狹小的花園,一只螞蟻走進去可能找不到家。如此大小相差,長短距離,廣狹厚薄,以及南北東西,上下之量,那實在是不能有一定的說法了。

　　佛教里有兩句話:“須彌藏芥子,芥子納須彌。”過去有一個讀書人不懂,問一位師父:『師父!你們佛教中這兩句話,第一句須彌能藏芥子,倒也罷了,但第二句太不通,因為芥子怎么好納須彌呢?』師父回答說:『你們讀書人知道“讀書破萬卷,落筆如有神”這兩句話嗎?這萬卷書讀到什么地方去了呢?』那位讀書人把肚子一拍說:『讀在我的肚子里呀!』師父又說:『既然萬卷書都能讀進你的肚子里去,那么,這里有一本書請你裝進肚子里去吧!』那個人被師父這么一說,方才悟到空量的大小原來是這樣兼容的!

　　佛說:一微塵中有無數(shù)剎(一剎即為億萬太陽系),無數(shù)剎中有無數(shù)佛,一一佛身各毛孔中有無數(shù)剎,剎中佛身,佛身毛孔,毛孔中剎,重重無盡,這樣看來,極小的極微又不知大于太陽系多少倍了。從此可知,我們今日所知的空量,皆是此世界有情幻覺中的幻相,因為有情界各有各的不同空量。我們從中國到日本,相隔數(shù)千里,即使坐噴射客機,也要幾個小時;西方極樂世界,離此十萬億佛土,一念之中,即可往生;此可知空量的距離,近不在眼前,遠亦不在天邊。

　　六.佛教看時量

　　依佛教的真理來講時量,原來是:

　　促一剎那而非短 延無量劫而非長

　　我們從世間的有情界來看時間,所謂長短久暫,延促相差,都是幻覺不真。

　　親朋好友相聚歡談的時候,數(shù)小時等于一瞬;怨家對頭相逢一起的當兒,幾分鐘也好似歷時數(shù)年。蜉蝣不知晝夜,朝生夕死;彭祖八百歲,幾經(jīng)滄桑;他們都覺得同樣的度過了一生,生命的久暫本來都是幻覺而不實在的。

　　我們看到日出日沒,知道是日已過,但地球上半年有太陽,半年無太陽,他們的一日如何計算?人間的五百年,忉利天才一晝夜;忉利天五百年,夜摩天才一晝夜;這樣一算,人間的一日,在夜摩天尚不及一秒。人間的一秒,在朝生夕死的蜉蝣,可能當作一晝夜,如此,時量實無準確可言!

　　娑婆世界的一劫,于阿彌陀佛的極樂世界才一晝夜;極樂世界的一劫,于金剛堅佛剎的袈裟幢世界才一晝夜;袈裟幢世界的一劫,于善勝光明蓮花開敷佛剎的不退轉(zhuǎn)音聲輪才一晝夜;不退轉(zhuǎn)音聲輪世界的一劫,于法幢佛剎的離垢世界才一晝夜;離垢世界的一劫,于獅佛剎的善燈世界才一晝夜;善燈世界的一劫,于光明幢佛剎的妙光明世界才一晝夜;妙光明世界的一劫,于法光明蓮花開敷佛剎的難超過世界才一晝夜;難超過世界的一劫,于一切神通光明佛剎的莊嚴慧世界才一晝夜;莊嚴慧世界的一劫,于月智佛剎的鏡光明世界才一晝夜;從鏡光明世界,如是乃至無數(shù)佛剎最后的一世界一劫,于賢勝佛剎的勝蓮花世界才一晝夜。從小處來看,我們娑婆世界的一劫,在勝蓮花世界里有如一剎那;從大處來看,勝蓮花世界的一剎那,正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差,可知我們這世界的時量是有情類幻覺中的假名了。

　　一只蚊子,在一秒鐘內(nèi),能將他的翅膀振動五百至六百次,但人類即使是一個最優(yōu)良的打字員,在一秒鐘內(nèi)頂多也不過能按六到七下鍵盤,同樣的時間,卻有如此的懸殊,若不明白這都是有情界的幻相,那就永不能認識時間!

　　剛才和各位略釋佛教的數(shù)學,因限于時間,未能一一詳言,各位如果有興趣,對佛學稍加涉獵和注意,那么對于數(shù)學的原理和宇宙人生的意義,當更有體會!